世界十大数学家-高斯

卡尔 ·弗里德里希·高斯 约翰 · 卡尔 · 弗里德里希 · 高斯 （ Johann Carl Friedrich Gauss ， 1777 年 4 月 30 日－ 1855 年 2 月 23 日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家

是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有 “ 数学王子 ” 之称

高斯和 阿基米德 、牛顿并列为世界三大数学家

一生成就极为丰硕，以他名字 “ 高斯 ” 命名的成果达 110 个，属数学家中之最

他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献

人物生平 家庭背景 高斯是一对贫穷普鲁士犹太人夫妇的唯一的儿子

母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育

在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作

他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师

当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今

他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算

能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋

高斯家乡的纪念雕像 父亲格尔恰尔德 · 迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分

高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格

高斯很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲

高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围

当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知

在成长过程中，幼年的高斯主要得力于他的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（ Friederich ）

弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就

他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力

若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使 ” 我们失去了一位天才 ”

正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠

罗捷雅真的希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视

然而，她也不敢轻易地让儿子投入不能养家糊口的数学研究中

在高斯 19 岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友 W. 波尔约 问道：高斯将来会有出息吗？波尔约说她的儿子将是 ” 欧洲最伟大的数学家 ” ，为此她激动得热泪盈眶

初显天分 高斯 7 岁那年开始上学

10 岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程

数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用

一天，老师布置了一道题， 1+2+3······ 这样从 1 一直加到 100 等于多少

高斯 很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案： ” 你一定是算错了，回去再算算

” 高斯非常坚定，说出答案就是 5050

高斯是这样算的： 1+100=101 ， 2+99=101······50+51=101

从 1 加到 100 有 50 组这样的数，所以 50X101=5050

布特纳对他刮目相看

他特意从 汉堡 买了最好的算术书送给高斯，说： “ 你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了

” 接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世

他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究

得到资助 1788 年， 11 岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出

他的教师们和慈母把他推荐给伯伦瑞克公爵，希望公爵能资助这位聪明的孩子上学

布伦兹维克公爵 卡尔 · 威廉 · 斐迪南 召见了 14 岁的高斯

这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习

1792 年高斯进入布伦兹维克的 卡罗琳学院 继续学习

1795 年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究

1796 年高斯 19 岁，发现了正十七边形的尺规作图法， [1] 解决了自欧几里德以来悬而未决的一个难题

[1] 同年，发表并证明了二次互反律

这是他的得意杰作，一生曾用八种方法证明，称之为 “ 黄金律 ” [2]

1799 年，高斯完成了博士论文，获黑尔姆施泰特大学的博士学位，回到家乡布伦兹维克，虽然他的博士论文顺利通过了，被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家 – 又是公爵伸手救援他

公爵继续慷慨资助高斯的研究，使得他能在 1803 年谢绝圣彼得堡提供的教授职位，他一直是圣彼得堡科学院通讯院士

公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在 1801 年问世；还负担了高斯的所有生活费用

所有这一切，令高斯十分感动

他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词： ” 献给大公 ” ， ” 你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究 ”

布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用

不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一

高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期

历经变故 1806 年，卡尔 · 威廉 · 斐迪南公爵在抵抗 拿破仑 统帅的法军时不幸在 耶拿战役 阵亡，这给高斯以沉重打击

他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意

大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷

但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸

人们只是在 19 世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态

在一篇讨论椭圆函数的手稿中，突然插入了一段细微的铅笔字： ” 对我来说，死去也比这样的生活更好受些

” 慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计

由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从 1802 年起就已开始传遍欧洲

彼得堡科学院不断暗示他，自从 1783 年 莱昂哈德 · 欧拉 去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着像高斯这样的天才

公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台

为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（ B.A.Von Humboldt ）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位

1807 年，高斯赴 哥廷根 就职，全家迁居于此

从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根

洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件

同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端

投身研究 1833 年 高斯 从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机

高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果

他自己曾说：宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果

许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的

其中一个有名的例子是关于 非欧几何 的发展

非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 洛巴切夫斯基， 波尔约

其中波尔约的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小波尔约还是沉溺于平行公理

最后发展出了非欧几何，并且在 1832 ～ 1833 年发表了研究结果，老波尔约把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己

早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已

阿贝尔 和 雅可比 可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西

而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他方面去

他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的 戴德金 和 黎曼

他的父亲死于 1808 年 4 月 14 日， 1809 年 10 月 11 日，他的第一位妻子 Johanna 也离开人世

次年 8 月 4 日高斯迎娶第二位妻子 Friederica Wilhelmine （ 1788-1831 ）

他们又有三个孩子： Eugen （ 1811-1896 ） ,Wilhelm （ 1813-1883 ） 和 Therese （ 1816-1864 ）

1831 年 9 月 12 日她的第二位妻子也死去， 1837 年高斯开始学习俄语

1839 年 4 月 18 日，他的母亲在哥廷根逝世，享年 95 岁

高斯于 1855 年 2 月 23 日凌晨 1 点在哥廷根去世

他的很多散布在给朋友的书信或笔记发现于 1898 年

[3] 个人信仰 高斯的信仰是基于寻求真理的

他相信 “ 精神个性上的不朽，像是个人在死后的持久性，还有最后命令的东西，以及永恒的、正义的、无所不知和无所不能的上帝

” 高斯也坚持宗教的宽容，他相信打扰其他正处在他们自己和平信念中的人是不对的

[4] 他说： ” 微小的学识使人远离神，广博的学识使人接近神

“ 高斯具有浓厚的宗教感情、贵族的举止和保守的倾向

他一直远离他那个时代的进步政治潮流

在高斯身上表现出的矛盾是与他实际上的和谐结合在一起的

高斯身为才气横溢的算术家，对於数具有非凡的记忆力

他既是一个深刻的理论家，又是一个杰出的数学实践家

教学是他最讨厌的事，因此他只有少数几个学生

但他的那些影响数学发展进程的论著 ( 大约 155 篇 ) 却使他呕心沥血

有 3 个原则指导他的工作︰他最喜欢说的「少些，但要成熟些」；他的格言「不留下进一步要做的事」；和他的极度严格的要求

从他死后出版的著作中可以看出，他有许多重要和内容广泛的论文从未发表，因为按他的意见，它们都不符合这些原则

高斯所追求的数学研究题目都是那些他能在其中预见到具有某种有意义联系的概念和结果，它们由於优美和普遍而值得称道

伟人之死 1849 年举办了高斯获博士学位 50 周年庆祝会，为此高斯准备了他早期对代数基本定理证明的一个新版本

由於健康状况愈来愈差，这成了他最后的著作

给他带来最大欢乐和荣誉的还是哥廷根市赠与他的荣誉公民头衔

由於他在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成就，他被选为许多科学院和学术团体的成员

他谢绝了许多大学请他当教授的邀请而一直留在哥廷根大学的院系中，直至 1855 年 2 月 23 日逝世

逝世后不久就铸造了纪念他的钱币

个人成就 数学成就 欧几里德已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展

高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则

例如，用圆规和直尺可以作圆内接 正十七边形

这样的发现还是欧几里得以后的第一个

这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论 ( 即代数方程的解法 ) 作出了贡献

高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进

1831 年 ( 发表於 1832 年 ) 他给出了一个如何藉助於 x,y 平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明

高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一

欧几里得是建立系统性几何学的第一人

他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点

在这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出

按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与该直线平行的线

不久就有人推测︰这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去

但是关於它的所有证明都有错误

高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的几何学的人之一

他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾

但因为与同代人的观点相背，他不敢发表 ( 参阅 非欧几里得几何 条 )

当 1830 年前后匈牙利的 波尔约 (Janos Bolyai) 和俄国的 罗巴切夫斯基 独立地发表非欧几何学时，高斯宣称他大约在 30 年前就得到同样的结论

高斯也没有发表特殊复函数方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们

因此这一理论不得不在他死后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建

1830 年前后， 极值 ( 极大和极小 ) 原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，例如流体保持静止的条件等问题

在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体粒子和与它接触的固体或流体粒子之间的相互作用都考虑在内

这一工作对於 能量守恒原理 的发展作出了贡献

从 1830 年起高斯就与物理学家 威廉 · 爱德华 · 韦伯 密切合作

由於对地磁学的共同兴趣，他们一起建立了一个世界性的系统观测网

他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展

因为他们的资金有限，所以试验都是小规模的

天文发现 1801 天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现

1801 年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（ Aries ）附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作 谷神星 （ Ceres ）的小行星在天空出现了 41 天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影

我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是 Piazzi 只能观察到它 9 度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了

因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星

高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题

高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法

他可以极准确地预测行星的位置

他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹

果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现

这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是 “ 最小平方法 ”

在天文学中这一成就立即得到公认

他在《天体运动理论》 (1809) 中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求

高斯在小行星「 智神星 」方面也获得类似的成功

考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算

这时他的声名远播，荣誉滚滚而来

自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了

1807 年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世

1809 年，在结婚 4 年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世

他的第二次婚姻 (1810 ～ 1831) 带给他两个儿子和一个女儿

在 1812 年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院

地理测量 1820 年前后，高斯把注意力转向大地测量 —— 用数学方法测定地球表面的形状和大小

他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作

为了增加测量的精确度，他发明了回光仪 ( 一种利用日光以保证比较精确测量的仪器 )

他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线 ( 一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础 ) 来表示

他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理论

他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透过测量曲面上曲线的长度就能确定

这种「内蕴曲面论」启发了他的学生 黎曼 发展三维或多维空间的一般内蕴几何学

这是黎曼 1854 年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题

大约 60 年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广义相对论的数学基础

与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在 1840 年发表的实分析论文

这一论文成为现代位势理论的出发点

这可能是他所有的工作中唯一没有达到他本人高标准要求的一个

只有到 20 世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论

1820 到 1830 年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪

高斯和 韦伯 （ Withelm Weber) 一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法

以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置

研究领域 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在 数论 、 代数学 、 非欧几何 、 复变函数 和微分几何等方面都做出了开创性的贡献

他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理

高斯一生共发表 155 篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来

高斯首先迷恋上的也是自然数

高斯在 1808 年谈到： “ 任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热

” 高斯对代数学的重要贡献是证明了 代数基本定理 ，他的存在性证明开创了数学研究的新途径

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的

高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明

高斯在 1816 年左右就得到非欧几何的原理

他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的 柯西积分定理

他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来

在物理学方面高斯最引人注目的成就是在 1833 年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会

除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献

人物著作 著作 出版时间 著作介绍 《 算术研究 》 1801 年 介绍了 同余 、二次互逆定理 《天体运动理论》 1809 年 天体运动的著作 《曲面的一般研究》 1827 年 阐述了空间曲面的 微积分 几何学 关于代数基本定理的博士论文 1799 年 证明了每个复系数方程必有复数解 《高等大地测量学理论》上 1843/44 年 地理测量 《高等大地测量学理论》下 1846/47 年 地理测量 《地磁的一般理论》 1839 年 《地磁概念》 1840 年 《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》 1840 年 人物评价 高斯不仅对纯粹数学作出了意义深远的贡献，而且对 20 世纪的天文学、大地测量学和电磁学的实际应用也作出了重要的贡献

高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹

从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是 18─19 世纪之交的中坚人物

如果我们把 18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把 19 世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯

高斯是 ” 人类的骄傲 ”

天才、早熟、高产、创造力不衰 …… 人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分

爱因斯坦 曾评论说： “ 高斯对于近代物理学的发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越一切，无与伦比的

” 贝尔 曾经这样评论高斯：在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学，而且在 1800 年之前已经期待它们的出现

如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间

人物名言 浅薄的学识使人远离神，广博的学识使人接近神

—— 高斯 数学，科学的皇后；算术，数学的皇后

—— 高斯 后世纪念 从 1989 年直到 2001 年年底，他的肖像和他所写的正态分布曲线与一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德国 10 马克的钞票中

另一方面，在汉诺威有和他有关的鸡血石以及三角测量方法

在德国也发行了三种用以表彰高斯的邮票

第一种邮票 ( 第 725 号 ) 发行于 1955 年 − 他死后的第 100 周年；另外两种邮票 ( 第 1246 号 . 第 1811 号 ) 发行于 1977 年，他出生的第 200 周年

在高斯的荣耀中，以他命名的事物包括： 1. 用在磁场的 CGS 制计量单位以高斯来命名

2. 月球上的坑洞以他来命名

3. 小行星 1001 又称为「高斯星」

4.1901 年德国建造了一艘名为 “ 高斯 ” 的船，并进行了被称为 “ 高斯号远征 ” 的南极探险活动

[5] 2007 年的时候，高斯的半身像被引进 瓦尔哈拉神殿

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