一.引言
罗尔中值定理是微分学的一个基本定理,它是应用函数的导数研究函数整体性态的理论基础,但经典罗尔中值定理的条件太强，在实际应用过程中比较难达到，检验的不方便和使用的不灵活，限制了罗尔中值定理在实际中的应用.为了使罗尔中值定理在更广泛的函数类中得到使用，增加使用的灵活性，本文从经典罗尔中值定理出发，探讨在更广泛函数类中的罗尔中值定理，适当降低一些条件的限制,将其进行推广.
二.罗尔中值定理的推广形式
（一）罗尔中值定理左、右端点函数值相等条件的减弱
定理1设函数 在有限区间 内可导,且 ,则在 内至少存在一点 ,使得 .
证明 构造函数 ,则有 满足罗尔中值定理，故存在 ，使 ，即 .
（二）罗尔中值定理开区间内可导条件的减弱
定理2 若函数 满足：⑴在闭区间 上连续；⑵在开区间 内除有限个点的导数为 或 其他点的导数都存在；⑶ ，则至少存在一点 ，使得 .
对比罗尔中值定理中的条件，考虑把条件⑵改成 在 内只有一侧导数存在，其他两个条件不变，那么是否也存在一点 ，使得 ?结果是否定的，举一个反例来说明：
例如，函数 ，显然
⑴ 在 上连续；⑵在 内 ，
⑶ ， ，显然找不到满足上述条件的 点，但把上述条件加强一点，可得到以下推论.
推论1 若函数 满足条件：⑴在闭区间 上连续,⑵在开区间 内右（左）导数存在且连续,⑶ ，则至少存在一点 使得
（三）罗尔中值定理有限区间的减弱
定理3若函数 满足在 可导， ，则至少存在一点 ，使得 .
该定理可得到如下推论：
推论2 若函数 满足在 内可导，且 ，则至少存在一点 ，使得 .
推论3 若函数 满足在 内可导，且 ,则至少存在一点 ，使得 .
参考文献：
[1] 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义 (第三版)[M].北京:高等教育出版社, 1992.
[2] 汪军．广义罗尔定理及其应用实例[J]．辽宁工程技术大学学报(自然科学版)，2000，13(1)：93—94．
[3] 王希超，万林梅，万胜英．微分中值定理条件的降低[J]．山东农业大学学报(自然科学版)，2001，12(3)：353—355.
On the generalization and proof of Theorem of Rolle’s Mid-Value
Abstract: On the basis of Rolle’s Mid-value Theorem, this paper uses the fundamental methods of calculus to reduce conditons and obtain the corresponding conclusions, and prove them respectively.
Key words: Theorem of Rolle’s Mid-value；Generalization
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作者简介：高慧君（1992.3-），女，河南省扶沟县，本科，黄淮学院数学科学系数学与应用数学专业，研究方向：数学教学