一.引例
求椭球面 在点 处的切平面及法线方程.
解：
， 是 的偏导数.
切平面方程为：
得：
法线方程为：
二.导数与法向量（梯度）的关系关系分析
从 中求 是求切线，而上例中求偏导却是求法向量，看上去两者无关.但都是求导，为什么会无关呢，那法向量为什么又与切平面方程有关呢？如果从严格的数学证明来推导是可以得到原因的，但接下来我们从比较浅显、更容易理解的方式来进行分析推导.
（1） 对 （其中 为 维向量）的每个分量求偏导后得到法向量（梯度），也分别代表了 各方向的变化率，整个法向量是 在各方向上变化率叠加得到的向量，例如对于一元函数 ，导数为 ，也就是在 方向上以 的速度变化，当 时，函数变化率2小于当 时函数变化率4，法向量的方向因为函数 是一元的，所以只能是 方向， 是隐函数.当我们用 表示成 ，这样 是二元（维）的.而我们通过导数的定义知道，导数就是变化率.这样也就清楚了，隐函数 的法向量就是 对各个分量的偏导数的向量，可是为什么 里求得的 是切线，而不是法向量呢？这是因为我们可能搞混了 和 ，隐函数是一个函数，它的值根据 的取值不同而不同.而 只是 和 之间构成的函数约束关系，当建立平面直角坐标系的时候，可以通过图形来表示两个变量之间的约束关系.例如 表示抛物线，可以在坐标系中画出来，而用隐函数的形式来表示时，即 ，只有当 等于一个固定的数（比如0）时，才是一条抛物线，否则它只是一个函数，设 ，那么 表示一个曲面，因为维数上升了1个，对 求偏导后，就得到 的值 的变化率.而根据全微分公式：
，可以看到 的值究竟在 的小范围能变化多少，这个变化率决定于 方向的上微分 和 方向上的微分 的线性组合，他们的系数是偏导数，将 和 换成单位向量 和 ，就变成法向量了.那么梯度也就反映了 在某一点上的变化率和变换方向.简单点说，对于隐函数 ，如果想知道给定的 附近 的变化方向与大小，那如何去描述呢？由于 的各方向 上变化速率和方向都不一样，但我们想知道他们叠加在一起是怎么变化的.使用全微分公式 ，可以知道他们之间的叠加系数就是偏导数，叠加结果就是变化率，而方向就是 相应变化方向 等线性组合的方向.
（2） 再讨论为什么从 中求 是求切线的问题，我们对这个最终结论进行推导.首先，将 写成隐函数（这里的 是实数，上面的 是向量），得 ，然后对 求关于 的偏导数得到 ，对 求关于 的偏导数得到-1，即梯度是 ，又由于切线和法向量是垂直的，所以切线和法向量的内积为0.设切线方向向量为 ，那么 ，即 ，可以看到切线斜率就是 .
（3） 根据引例中的曲面求切平面问题，求出某点的法向量后，在这个点的切平面要满足两个条件，一要过切点，反映出该点的变化方向（是指这个点自己的变化方向，不是 的变化方向），而这点的变化方向也最终反映出该点 的变化，也就是切平面的变化要反映出法向量的变化，而偏导数正好反映了 值的变化.因此切平面的偏导数与 的偏导数是相同的，我们从引例中看出，切平面也正是利用了 的偏导数.
三.导数与极值的关系讨论
通过上面的全微分公式，我们可以更好的理解极值，一般来说函数取得极值的时候在该点的导数为0，这是为什么呢？
假设一元（维）的情况， ，两边微分得 ，当 时， ，则取得极小值.否则，如果 是正数，则 只需向左调整（ ），就能使 值变小，如果 是负数，那么 只需要向右调整（ ），就能使 变小，所以最后调整的结果均是 .而当函数是二元的时候，
的值在计算后会有正负值，但我们也看到 也可正可负，只要 有一个不为0，那么通过调整 的正负号（确定移动 和 ）可以使 的值变大变小，只要在偏导数都是0的情况下，无论如何调整 ， 都是0，取得极值.作者简介：李蓓蕾，女（1980.11-），湖北荆州人，长江大学讲师，研究方向：最优化理论与算法
（作者单位：）