极限理论是数学分析中最为基础，但却最重要的内容，它以各种各样的形式出现，并贯穿于数学分析的全部内容
在整个现代数学中，极限是最重要的概念之一，其是解决与处理数学问题的一种重要的数学方法
因为极限理论在一般的拓扑空间内建立也可以建立，而且是将有限过度到无限的一种数学分析工具，因此其在数学分析占着非常重要的地位，并有着极其重要的作用
而极限理论在数学分析中的应用主要是利用极限的思想进行极限求解
利用极限思想处理问题的一般步骤为：想办法构思一个和被考察的未知量相关的变量，并确认所构思的变量在经过无限过程的结果就是我们所求的未知量，再利用极限计算的方法得到要求的结果
本文主要探讨的求解极限的方法包括：利用四则运算法求极限、利用两个重要极限求极限、采用等价代换求极限以及利用洛必达法则求极限
一、极限理论在数学分析中的地位和作用
极限思想贯穿于数学分析课程的始末，在数学分析中很多的概念都离不开极限
在大部分的数学分析著作中，首先介绍的都是函数理论u极限思想，然后利用极限思想给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、重积分、曲线积分、曲面积分等概念
极限理论是数学分析以及高等数学中必不可少的一种数学分析方法，也是区分初等数学与数学分析的一个重要概念
数学分析之所以能够解决初等数学不能解决的很多问题，例如瞬时速度、曲边形面积、曲面体体积等问题，最主要的原因就是利用了极限理论进行数学分析
由此可见，极限理论在数学分析中所占有的重要地位，而且发挥着重要的作用
极限理论将变量与常量、无限与有限之间的统一关系表现了出来，是唯物辩证法的对立统一规律在数学分析中的应用
由于极限法拥有从有限认识无限、从“不变”认识“变”、从量变认识质变、从近似认识准确等特性，因此，其在数学分析甚至是物理领域都得到了广泛的应用
二、关于极限的定义
在数学分析中，极限的定义主要是根据不同类型的变量以及过程来确定的，由于变量与过程具有多样性的特点，因此，极限的定义与形式也呈现出多样性
虽然极限有多种形式与定义，但是只要对其中几种重要且常用的极限加以理解，则可以掌握其他的极限形式
因此，笔者主要对以下三种极限的定义进行了分析
定义1：设数列{xn}，若存在常数α使得对 ＞0， N Z+，当n＞N时，｜xn－α｜＜ε，那么，则表示数列{xn}收敛，α则为数列{xn}的极限，记作 =α
定义2：设ƒ(x)在点x0的某去心邻域U(x0)中有定义，若是存在一个常数X，使得对 ＞0， δ＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，有｜ƒ(x)-X｜＜ε,那么，则称当x→x0时ƒ(x)的极限为X，记作
定义3：设ƒ(x)为[a,b]上的有界函数，A表示对[a.b]的分法：a=x0＜x1＜x2＜……＜xn=b,记作Δxk=xk-xk-1，λ(A)= ，I为常数，若对 ＞0， δ＞0，对任意分法A，当λ(A)＜δ时，有｜ ｜＜ε,则表示ƒ(x)在[a,b]上可积，并称I为ƒ(x)在[a,b]上的定积分，记作
三、数学分析中常用的几种极限求解方法
极限是导数的基本内容，同时又是构成积分与微分的基础，所以极限的求解对于数学分析是非常重要的，而极限理论在数学分析中的应用也体现在极限求解中
下面我们将对常用的几种极限求解方法进行简要的分析
3.1采用极限的四则运算法则进行极限求解
3.1.1利用四则运算法则进行数列极限的求解
1）设 =a， =b，那么， =a+b， =a•b， = (b≠0)
2）设{Xn}为有界数列，若 =0，那么 =0；若 =∞，则 =∞
3.1.2利用四则运算法则进行函数极限的求解
1）设 =a， =b，那么， =a±b， =a•b， = (b≠0)， =ab(a＞0)
2)设0＜｜X-a｜＜δ时g(X)有界，若 =0，那么， =0若 =∞，那么 =∞(+∞)
3）设 =∞(+∞)， =∞(+∞)或是 =a(a＞0)，那么， =∞(+∞)
例1：w=
解：w= = = =
3.2利用两个重要极限进行极限求解
两个重要的极限为：① =1；② x=e， =e
例2：求极限
解：因为 =
所以，原式=
= =1×2=2
3.3采用等价代换进行极限求解
采用无穷小运算定理进行极限求解，其中常用的等价无穷小量是当X→0时的以下几种情况：①sinx→x；②tanx→x；③arcsinx→x；④arctanx→x；⑤ln(1+x) →x；⑥ex-1→x；⑦ax-1→x；⑧1-cosx→ x2；⑨(1+x)a-1→ax或 -1→ x
例3：求解极限
解：原式= =
在利用等价无穷小量进行等待代换求解极限时，有一点需要注意的是：有界变量和无穷小的乘积仍然为无穷小
在求解有界变量与无穷小相乘的